피타고라스 정리 증명인데, 증명 벌써 존재하는지 여부 알려주실 수 있나요?

나온 증명이 수백개 되는데 그 중에 있는 것인지 궁금합니다.

아 보장되네요 ㅎㅎ;

반지름 선의 기울기가 f(x)/x 가 된다는게 무슨뜻인지 잘 모르겠는데요

아 이해했습니다.
https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/CalculusProof.shtml
이거랑 비슷하다고 chatgpt가 찾아주는군요

알겠습니다

궤적이 원인 이유는 직각삼각형의 제일 큰변이 1인경우로 정했기 때문입니다.

피타고라스 정리가 성립하지 않을 경우 궤적이 원이 아닐 수 있다는 거 아닌가요? 빗변이 1인 직각삼각형의 가능한 꼭지점 위치의 궤적을 다 합치면 원이 된다는 얘기인데 나머지 두 변을 각각 a, b라고 했을 때 a^2+b^2=1^2이 성립하지 않을 경우 궤적이 원을 이루지 않을 수 있죠. 가정 자체가 피타고라스 정리가 성립하지 않으면 쓸 수 없는 가정이라는 얘기 같은데요?

직각삼각형의 최대큰변이 길이가 1이면, 해당 직각삼각형의 최대큰변이 이루는 궤적은 반지름 1인 원인데, 이건 피타고라스 정리의 성립유무랑 상관 없습니다. 피타고라스 정리가 원의 방정시과 관련이 있어서 오인하신듯 합니다. 제 말 못믿으시겠으면 다른 수학 교수님 에게 물어보세요

그러니까 그 궤적이 왜 원이 되는 건지부터 증명을 해야할 것 같은데요. 피타고라스 정리 없이요.

**“직각삼각형의 꼭짓점 궤적이 원을 이룬다”**라는 사실(= 직각이 원의 지름에 대한다는 정리, Thales의 정리)은
이미 피타고라스 정리와 동치 수준이거나, 적어도 그 정리의 한 귀결입니다.

Thales 정리의 전형적인 기하학적 증명은 결국 피타고라스 정리를 사용합니다.

또는 Thales 정리를 먼저 가정하고 피타고라스를 증명할 수도 있지만, 그 반대 방향의 논리적 의존이 생깁니다.

제시한 접근에서

큰변이 1로 고정 ⇒ 궤적이 원
이 부분이 이미 피타고라스 정리(또는 동치명제)에 기대고 있습니다.
“원의 방정식:
𝑥^2+𝑦^2=1”이 바로 피타고라스식이니까요.

그래서 “-x/f(x) = df/dx”로 미분하는 과정은 원 위라는 전제가 필요하고, 그 전제는 이미 피타고라스를 내포합니다.
즉, 논리 구조상 원래 증명하려던 것을 먼저 사용하고 있는 셈입니다 (순환논증).

그냥 챗지피티한테만 물어봐도 잘 정리해주는데요

게시글 그대로 복사해서 챗지피티 한테 맞는지 물어봐보세요. 저는 챗지피티가 맞다고 하는데요? 코파일럿도 맞다고 하던데요

그대로 복사해서 물어본겁니다. 저도 수학 전공은 아니니 정확하게는 모르겠지만 의문은 계속 남네요. 결국 이게 기하학적 증명을 좌표계로 옮겨와서 미분해서 증명한건데 그 자체가 원의 방정식을 이용한 것 아닌가요? 원의 방정식 자체가 피타고라스 정리와 동치인데 그 내용이 증명안에 들어가 있다는 것 자체가 순환논증이니까요. 접선의 기울기가 -x/f(x)인 것 자체가 원의 방정식이 성립하지 않으면 성립할 수 없는 것 같은데요?

오랜만에 수학 문제 생각하다보니 재밌네요. 뭔가 걸리는 부분이 있는데 그걸 계속 생각하다보니 결국 f(x)를 x로 미분할 수 있다는 걸로 귀결되는 것 같습니다. f(x)를 x로 미분할 수 았다는 것 자체가 결국 f(x)가 x의 변화량에 종속되어 있다는 얘긴데 이게 곧 피타고라스 정리 아닌가요? 직각삼각형의 빗변이 아닌 한 변의 길이를 다른 한 변의 길이로 표현할 수 있다는 얘기니까요. 앞서 말씀하신 탈레스의 정리, 직교하는 기울기의 곱이 -1이다 같은 건 기하학적으로 증명이 가능한데 결국 본문의 증명 과정에서 f(x)를 x로 미분하는 과정이 나오는 이상 직각삼각형의 빗변을 제외한 나머지 두 변이 서로의 변화량에 종속되어 있는 관계라는 사실, 즉 피타고라스 정리를 이용한 것 같습니다. 물론 저도 수학 전공이 아니라서 정확하진 않습니다. 혹시 피타고라스 정리가 아닌 그 외의 방법으로 직각삼각형의 두 변이 서로의 변화량에 종속돼있음을 밝힐 수 있는 방법이 있을까요? 만약 있다면 증명이 맞는 것 같습니다

f(x)가 x에 종속적인 건 피타고라스 정리랑 무관합니다. a^2+b^2=c^2이 아니라 a+b=c여도 f(x)는 x에 종속됩니다. 삼각형의 세 변이 서로 종속적임에 기반할 뿐 피타고라스 정리에 기반하지 않습니다.

원의 방정식이 피타고라스 정리에 기반하는 지 여부는 윗 댓글에서 쇠약한 데이비드 흄님이 첨부한 링크에 기하학적 성질만으로 증명한 내용이 있습니다.

접선의 기울기가 -x/f(x)인지 여부는 삼각형의 닮음 만으로 증명 가능합니다. (직교하는 두 직선의 기울기의 곱은 -1)

두직선의 기울기 곱이 -1이면 직교한다는 것이 피타고라스 정리가 성립해야지 맞는거라면 순환 논리가 되지만 둘 사이에 그런 관계는 성립하지 않습니다. 저같은 경우 그런 정리가 있는지도 모르고, 기울기의 정의를 볼때 피타고라스 정리 상관없이 당연하다고 보고, 쓴것입니다. 기울기 정의상 당연한 것이지 피타고라스 정리가 필요한 부분은 아닙니다.

오 그렇습니까? 저는 수학의 정석 증명만 봐서 그럴지도 모르겠네요. 답글 주신 대로 피타고라스의 정리를 쓰지 않아도 될 수도 있지 않을까요?

- 궤적이 원 ← 빗변의 중점에서 꼭지점까지 길이가
0.5 ← 중점연결정리 ← 닮음
- 두 직선이 수직이면 기울기 곱 -1 ← 닮음
- 원의 접선이 반지름에 수직 ← 한점에서 한 직선까지의 최소거리는 수선의 길이 ← 더 큰 각에 마주한 변이 더 길다

여기까진 얼추 다 되는듯.

근데 궤적의 그래프가 y=f(x)는 아닌건 알고 있지?