반도체 대학원 입학 질문

현재 건동홍 반도체공학과 4학년입니다. 컴퓨터공학을 복수전공하고 있고, 학점은 3.75/4.5쯤 되는 것 같습니다.
내년 1학기에 아직 들어야 하는 수업이 있어 가을 졸업 예정입니다.

대학원 분야는 SOC 설계를 생각하고 있구요, 일단은 석사 학위까지만 생각하고 있습니다.
내년 1학기 인턴을 하고 가을학기 진학을 고민중에 있는데요.. 혼자 대학원을 찾아보려니 약간 막막한 감이 있어 질문 드립니다.

1. 서성한 정도 대학원까지 생각하고 있습니다. kaist나 서울대 같은 대학원은 학부 이름과 학점으로는 현실적으로 가기 어려운건지 여쭤보려고 합니다. 알아보는 수고를 조금 덜 수 있을까 합니다..ㅠ

2. 내년 1학기에 인턴을 한다고 하면 지금 반 년 조금 덜 남은 것 같습니다. 지금이 교수님께 연락드려도 괜찮은 타이밍인가요?

3. 각 대학 홈페이지를 찾아 관심가는 대학원 목록을 찾아보았는데, 생각보다 수가 많은 것 같습니다. 여러 교수님께 동시에 연락드리고, 그 중에 골라 가도 괜찮은 건가요? 혹은 그럴 일 없게 한 분께만 연락드려야 하나요?

읽어주셔서 정말 감사합니다.