카이스트 컨택 메일 지금이라도 드리는 게 좋을까요?

안녕하세요, 대학원 입시를 준비중인 학부 4학년입니다.

작년 11월 카이스트 인턴을 지원하며, 교수님께 인턴 문의를 드렸을 때 자리가 부족하여 인턴은 불가능할 것이라고 답장을 받았습니다.
지금 입시가 1달도 남지 않은 상황에서 컨택을 드리는 게 괜찮을까요?

컨택 내용은
1. 작년 여름에 인턴 자리는 부족했던 것으로 연락 받았다. 석사 자리는 남아 있는 것인지
2. 저를 기억해줬으면 하는 마음에 연락보낸다라는 느낌으로 연락드리기

추가적으로, 서울대에서 인턴을 이번 하계 방학에 하게 되었는데 저희 자대 교수님의 추천으로 들어가게 된 곳입니다.
서울대 교수님께서 면담 이후, 교수님께서 제가 연구에 맞는 사람이면 붙여주겠지만 맞지 않는 사람이라면 인턴을 해보고 다른 미래를 생각해보라고 말씀해주시겠다고 하셨습니다. 이럴 때 카이스트를 동시에 넣는 게 맞는 것인지 여쭤보고 싶습니다.

스펙은
학교: 인서울 하위권 공대
전공: 본전공 + 복수전공 --> 복수전공 과로 대학원 진학 예정
석차: 현재 차석 (이번 학기가 끝나면 수석 가능성 있습니다.)
학점: 4.19/4.5
연구 경험:
kci 논문 주저자
본전공(복수전공과 관련 있는) 관련 학술발표대회 4회 (구두 3회 포스터 1회)
학부연구생 2년 반 (본전공이지만 복수전공과 관련있는 연구실)